Synchronisierung von Lorenz-Systemen

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27.09.2020

Nachdem ich das Buch und die Videos von Steven Strogatz durch hatte, habe ich ein Experiment nachvollziehen wollen, zu dem die Idee von einem seiner Studenten gekommen war:

Ich habe zunächst das traditionelle Lorenz-System mit

\begin{matrix}\dot x&=&\sigma (y-x)\hfill\cr \dot y&=&x(\rho -z)-y\hfill\cr \dot z&=&xy-\beta z\hfill\end{matrix}
benutzt. Dieses System löste ich numerisch mit je zwei unterschiedlichen Startbedingungen für eine gewisse Zeit bevor ich ein der beiden Systeme mit einer der Zustandsvariablen des anderen Systems beaufschlagte. Ich benutzte dazu den Parametersatz

\sigma=10\;\; \rho=28\;\; \beta=8\over 3
Am Beispiel der Übertragung der Zustandsvariable x sieht das wie folgt aus:

Driver:

\begin{matrix}\dot x_1&=&\sigma (y_1-x_1)\hfill\cr \dot y_1&=&x_1(\rho -z_1)-y\hfill\cr \dot z_1&=&x_1y_1-\beta z_1\hfill\end{matrix}

Driven:

\begin{matrix}\dot x_2&=&\sigma (y_2-x_1)\hfill\cr \dot y_2&=&x_1(\rho -z_2)-y_2\hfill\cr \dot z_2&=&x_1y_2-\beta z_2\hfill\end{matrix}

Das Ergebnis sieht man hier: in der ersten Zeile sind beide Trajektorien zum Zeitpunkt unmittelbar bevor die Kopplung erfolgt dargestellt. Man erkennt deutlich, dass die Zustände und damit die aktuelle Position im Zustandsraum beider Systeme stark voneinander abweicht. In der zweiten Zeile ist das Verhalten beider Systeme um diesen Zeitraum herum dargestellt. Man erkennt noch Unterschiede in Lage und Form der Trajektorie - schaut man sich jedoch die Position am Ende des dargestellten Ausschnitts an, kann man bereits erahnen, dass die Unterschiede immer kleiner werden. In der letzten Zeile schließlich erkennt man keine Unterschiede mehr zwischen beiden Trajektorien - Das zweite System wurde mit dem ersten nur durch die Übertragung einer Statusvariablen synchronisiert!

Screenshot Untersuchung des Verhaltens zweier Lorenz-Systeme bei Übertragung einer Statusvariablen (x)

Bei Übertragung der Statusvariablen y erkennt man exakt dasselbe Verhalten:

Driver:

\begin{matrix}\dot x_1&=&\sigma (y_1-x_1)\hfill\cr \dot y_1&=&x_1(\rho -z_1)-y\hfill\cr \dot z_1&=&x_1y_1-\beta z_1\hfill\end{matrix}

Driven:

\begin{matrix}\dot x_2&=&\sigma (y_1-x_2)\hfill\cr \dot y_2&=&x_2(\rho -z_2)-y_1\hfill\cr \dot z_2&=&x_2y_1-\beta z_2\hfill\end{matrix}

Screenshot Untersuchung des Verhaltens zweier Lorenz-Systeme bei Übertragung einer Statusvariablen (y)

Wie Strogatz et. al. bereits in ihren ursprünglichen Veröffentlichungen feststellten, gelingt die Synchronisation nicht mittels der Übertragung der Statusvariablen z: Man erreicht zwar eine qualitative Annäherung der Trajektorien, allerdings weichen sie qualitativ (man beachte die Skalenbeschriftungen!) stark voneinander ab.

Driver:

\begin{matrix}\dot x_1&=&\sigma (y_1-x_1)\hfill\cr \dot y_1&=&x_1(\rho -z_1)-y\hfill\cr \dot z_1&=&x_1y_1-\beta z_1\hfill\end{matrix}

Driven:

\begin{matrix}\dot x_2&=&\sigma (y_2-x_2)\hfill\cr \dot y_2&=&x_2(\rho -z_1)-y_2\hfill\cr \dot z_2&=&x_2y_2-\beta z_1\hfill\end{matrix}

Screenshot Untersuchung des Verhaltens zweier Lorenz-Systeme bei Übertragung einer Statusvariablen (z)

Ich habe die Untersuchung für verschiedene Parameter wiederholt:

\beta \in \{0.9,8.0/3.0,3.4\}

Die Ergebnisse sind im folgenden über ihre Thumbnails zu erreichen. Interessant war das Ergebnis beim Wert 0.9 und Synchronisierung über z: hier zeigte sich, dass die Synchronisation über z bei entsprechender Wahl der Parameter des Systems ebenfalls möglich ist:

Screenshot Untersuchung des Verhaltens zweier Lorenz-Systeme bei Übertragung einer Statusvariablen (z) und Parametrierung mit β=0.9

Artikel, die hierher verlinken

Synchronisierung von Lorenz-Systemen II

09.10.2020

Ich habe in einem vorhergehenden Artikel ein Paper zur Synchronisierung chaotischer Systeme nachvollzogen. Dort hatte ich gezeigt, dass - anders als im ursprünglichen Paper - eine Synchronisierung zweier gleich parametrierter Lorenz-Systeme bei geeigneter Parameterwahl auch über die Zustandsvariable z möglich ist.

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