Bifurkationen im Lorenz-System

10.05.2020

Nachdem ich hier schon einmal kurz über Bifurkationen und Lyapunov-Exponenten berichtet habe, habe ich den Code dafür aufgeräumt und flexibilisiert - nun kann ich diese Werkzeuge auf beliebige Systeme anwenden: Das erste Beispiel war ja das Roessler-System, jetzt habe ich sie auf das Lorenz-System angewendet.

Das Sytem wurde unter Variation des Parameters beta untersucht - zur Erinnerung hier noch einmal die entsprechende Differentialgleichung des Systems:

\begin{matrix}\dot x&=&\sigma (y-x)\hfill\cr \dot y&=&x(\rho -z)-y\hfill\cr \dot z&=&xy-\beta z\hfill\end{matrix}
mit

\sigma=10\;\; \rho=28\;\; \beta=?

Screenshot Untersuchung des Lorenz-Systems bezüglich Bifurkationen und Lyapunov-Exponenten bei Variation des Parameters beta

Bei Variation von beta zwischen 0 und 4 zeigt sich, dass spätestens bei Werten über 1.5 das Chaos regiert. Interessanter ist der Bereich zwischen 0 und 1.5 weswegen dieser nochmals mit einer höheren Auflösung untersucht wurde.

Aus den Ergebnissen kann man die Hypothese stellen, dass das System für die Werte 0.3, 0.5 und 0.7 für beta periodisches Verhalten ohne Chaos zeigt - wie bereits gesagt regiert das Chaos spätestens ab dem Wert von 1.5 für beta - daher wurde auch dafür nochmals eine Berechnung der Trajektorie des Systems durchgeführt.

Die Trajektorien für diese vier Werte von beta kann man in der untenstehenden Graphik sehen - es wird deutlich, dass die Hypothesen bestätigt wurden:

Screenshot Lorenz-System - Trajektorien mit unterschiedlichen Werten für beta und identischen Startbedingungen

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Ich wünsche allen Lesern viel Spaß und hin und wieder einen kleinen AHA!-Effekt...

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