Nachdem ich so viel Spaß bei der Untersuchung der Behandlung eines chaotischen Systems mittels impliziten Eulerverfahrens hatte, habe ich mir gleich noch eines vorgenommen...
Der Rössler-Attractor stellt sich wie folgt dar:
mit
Daraus folgt für die Behandlung mit dem impliziten Eulerverfahren und einer Schrittweite (oder Intervallänge) h:
und eingesetzt:
Und wegen der Übersichtlichkeit:
Löst man dieses Gleichungssystem - und ich gebe zu, dass ich mich außerstande sah und Hilfe bei SymPy gesucht habe - kommt man auf ein Ergebnis für die Berechnung der drei Zustandsgrößen, das auf der Konsole - direkt von SymPy - wie folgt aussieht:
from sympy import *
>>> from sympy import *
>>> x, y, z,a,b,c,d,e,f,h = symbols('x, y, z,a,b,c,d,e,f,h')
>>> linsolve([a-h*y-h*z-x,b+h*x+c*y-y,d+e+h*z*x-f*z-z],(x,y,z))
{((h*(c - 1)*(h**2*z*(a*h + b) - (-c + h**2 + 1)*(a*h*z + d + e)) +
(a*(-c + h**2 + 1) - h*(a*h + b))*(h**4*z -
(-c + h**2 + 1)*(f + h**2*z - h*x + 1)))/((h**4*z -
(-c + h**2 + 1)*(f + h**2*z - h*x + 1))*(-c + h**2 + 1)),
(a*f*h - a*h**2*x + a*h + b*f + b*h**2*z - b*h*x + b -
d*h**2 - e*h**2)/(-c*f - c*h**2*z + c*h*x - c + f*h**2 + f -
h**3*x + h**2*z + h**2 - h*x + 1), (h**2*z*(a*h + b) -
(-c + h**2 + 1)*(a*h*z + d + e))/(h**4*z -
(-c + h**2 + 1)*(f + h**2*z - h*x + 1)))}
>>>
Eindrucksvoll und dennoch verwirrend - daher habe ich es hier nochmal aufbereitet:
Die hier gezeigten Darstellung veranschaulichen den Vorteil des impliziten Eulerverfahrens noch einmal schön: Als Referenz habe ich den Rösslerattractor mit einem adaptiven, expliziten Cash-Karp-Solver bis zu t=100 berechnet. Das benötigte 10000 Schritte - damit war die optimale durchschnittliche Schrittweite mit h=0.03 ermittelt.
Daraufhin berechnete ich zunächst das System mit dem expliziten Eulerverfahren und unterschiedlichen Schrittweiten bis zu t=30. Die Darstellungen zeigen die Änderungen im Ergebnis für h= 0.03, h=0.04 und h=0.05. Man kann erkennen, dass bereits bei h=0.04 eine Degeneration einsetzt (die Spiralfeder) und schließlich bei h=0.05 schließlich keine Lösung mehr ermittelt werden kann.
Die beiden letzten Bild stellen das Ergebnis des impliziten Verfahrens mit einer Schrittweite von h=0.04 und h=0.05 dar - in beiden sieht man, dass die beim expliziten Verfahren mit h=0.04 beobachtete Degeneration auch hier vorliegt, allerdings wird auch deutlich, dass die Lösung qualitativ noch sehr nahe am Original liegt. Damit ist einmal mehr bewiesen, dass man sich für die numerische Lösung von Differentialgleichungssystemen der Mühe unterziehen sollte, das implizite Eulerverfahren zumindest in Betracht zu ziehen.
03.11.2020
Nachdem ich ein wenig mit der Synchronisation von Lorenz-Systemen herumgespielt habe wollte ich herausfinden, ob sich die gefundenen Ergebnisse auf andere Systeme übertragen lassen - mein erster Kandidat dafür war das Roessler-System.
10.05.2020
Nachdem ich hier schon einmal kurz über Bifurkationen und Lyapunov-Exponenten berichtet habe, habe ich den Code dafür aufgeräumt und flexibilisiert - nun kann ich diese Werkzeuge auf beliebige Systeme anwenden: Das erste Beispiel war ja das Roessler-System, jetzt habe ich sie auf das Lorenz-System angewendet.
11.11.2018
Wann immer ich hier über Experimente mit numerischen Lösungsverfahren für Differentialgleichungssysteme berichte, habe ich im Hinterkopf, dass diese Verfahren eigentlich völlig ungeeignet dafür sind, solche Systeme zu analysieren, da heutige Digitalcomputer bereits rationale Zahlen nicht exakt darstellen können - von irrationalen ganz zu schweigen...
Synchronisieren Zwischenablage mit XPRA
01.09.2019
Nachdem ich neulich mein XPRA-Skript nochmal ein wenig erneuert habe, hatte ich ein Problem:
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Eine neue Musikreihe/Show auf Youtube gefunden...
Weiterlesen...Ich habe neulich über meinen kleinen Erfolg berichtet, einen Futro über das Netzwerk zu booten. Das war allerdings nur das Minimalziel...
Weiterlesen...Ich habe hier bereits von den Anfängen meiner Versuche berichtet, Ersatz für die Raspis und vergleichbarer Hardware zu finden.
Weiterlesen...Manche nennen es Blog, manche Web-Seite - ich schreibe hier hin und wieder über meine Erlebnisse, Rückschläge und Erleuchtungen bei meinen Hobbies.
Wer daran teilhaben und eventuell sogar davon profitieren möchte, muß damit leben, daß ich hin und wieder kleine Ausflüge in Bereiche mache, die nichts mit IT, Administration oder Softwareentwicklung zu tun haben.
Ich wünsche allen Lesern viel Spaß und hin und wieder einen kleinen AHA!-Effekt...
PS: Meine öffentlichen GitHub-Repositories findet man hier - meine öffentlichen GitLab-Repositories finden sich dagegen hier.